Complexité k-abélienne du mot de Thue-Morse

Soit k un entier. Deux mots u et v de même longueur sont équivalents k-abéliennement s'ils ont le même préfixe (resp. suffixe) de longueur k-1 et si, pour tous les mots x de longueur k, les nombres d'occurrences de x dans et dans v coïncident. Cette notion a suscité récemment beaucoup d'intérêt (consulter par exemple les travaux de Karhumäki et al.) La complexité k-abélienne d'un mot infini w associe à un entier n le nombre de classes d'équivalence k-abélienne partitionnant l'ensemble des facteurs de longueur n de w. Le mot de Thue-Morse est une suite 2-automatique célèbre et très étudiée. Il est triviallement abéliennement périodique et sa complexité (1-)abélienne ne prend que deux valeurs. Le but de cet exposé est de calculer la complexité 2-abélienne du mot de Thue-Morse à l'aide de matrices. En particulier, nous montrerons que cette complexité n'est pas bornée. De plus, nous conjecturons que cette complexité est 2-regulière au sens d'Allouche et Shallit.