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See detailBien raisonner en TSUM (Transition Secondaire-Université en Mathématiques)
Bair, Jacques ULg

E-print/Working paper (2017)

Bien raisonner est assurément une des compétences clés que doivent acquérir et développer les étudiants entrant à l’Université. Nous y consacrons entièrement ce travail illustré par de nombreux exemples ... [more ▼]

Bien raisonner est assurément une des compétences clés que doivent acquérir et développer les étudiants entrant à l’Université. Nous y consacrons entièrement ce travail illustré par de nombreux exemples construits à partir de notre expérience professionnelle. En premier lieu, nous distinguons, à la suite de G. Polya, les raisonnements plausibles des raisonnements démonstratifs. Ensuite, nous nous intéressons à certains éléments de logique qui nous paraissent importants au niveau d’une TSUM. Puis, nous analysons la nature de preuves mathématiques à ce stade de l’apprentissage. Enfin, nous dissertons quelque peu sur l’usage des démonstrations dans l’enseignement. Ce travail se termine par deux annexes techniques, relatives respectivement à différents types de syllogismes et à quelques éléments plus formels de logique mathématique. [less ▲]

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See detailSur l'évaluation de compétences en mathématiques
Bair, Jacques ULg

E-print/Working paper (2017)

Ce document comprend deux parties. Tout d’abord, un texte est consacré à des généralités sur la mesure de compétences, ainsi qu’à la présentation, illustrée par des exemples concrets, de différents types ... [more ▼]

Ce document comprend deux parties. Tout d’abord, un texte est consacré à des généralités sur la mesure de compétences, ainsi qu’à la présentation, illustrée par des exemples concrets, de différents types d’échelles (universelle, descriptive, globale) et de grilles d’évaluation. Enfin, ce travail se termine par la reproduction de diapositives (initialement réalisées à l’aide du logiciel Power Point) préparées pour accompagner une leçon sur l’évaluation ; l’exposé oral correspondant a été donné, dans le cadre de la FOPED (Formation Pédagogique), à plusieurs cohortes de stagiaires en mathématiques à l’Université du Luxembourg. [less ▲]

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See detailPetite apologie de l'analogie en mathématiques
Bair, Jacques ULg

E-print/Working paper (2017)

L'analogie est souvent utilisée par les mathématiciens car elle s'avère déterminante très souvent dans la création de mathématiques nouvelles. Pour illustrer simplement ces propos, nous présentons deux ... [more ▼]

L'analogie est souvent utilisée par les mathématiciens car elle s'avère déterminante très souvent dans la création de mathématiques nouvelles. Pour illustrer simplement ces propos, nous présentons deux exemples, l'un de géométrie et l'autre d'analyse, qui ont été initialement développés par G. Polya. Une brève biographie de cet auteur est présentée en fin d'article. [less ▲]

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See detailQuelques idées générales à propos de la compréhension en mathématiques
Bair, Jacques ULg

E-print/Working paper (2017)

Dans cet article, nous apportons des éléments de réponse à la question générale suivante : "Que signifie bien comprendre en mathématiques ?" Nous nous demandons pourquoi il est difficile d'y répondre et ... [more ▼]

Dans cet article, nous apportons des éléments de réponse à la question générale suivante : "Que signifie bien comprendre en mathématiques ?" Nous nous demandons pourquoi il est difficile d'y répondre et apportons une piste de solution en distinguant les activités de production de celles de reproduction. De plus, nous abordons le problème étudié d'un point de vue aussi bien local que global. Enfin, nous nous interrogeons sur l'incompréhension en mathématiques en proposant une typologie, en repérant des causes possibles d'incompréhension et en donnant quelques conseils pratiques. [less ▲]

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See detailLe concept de duration : une présentation heuristique
Bair, Jacques ULg

Learning material (2017)

La duration est fondamentale en mathématiques financières. Nous la présentons de deux manières complémentaires qui sont qualifiées de classique et d’heuristique. La seconde méthode nous paraît originale et ... [more ▼]

La duration est fondamentale en mathématiques financières. Nous la présentons de deux manières complémentaires qui sont qualifiées de classique et d’heuristique. La seconde méthode nous paraît originale et bien adaptée pour amener les étudiants à effectuer un travail de recherche sur un problème concret et pour appliquer de nombreux concepts classiquement enseignés dans les programmes de mathématiques. [less ▲]

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Peer Reviewed
See detailInterpreting the Infinitesimal Mathematics of Leibniz and Euler
Bair, Jacques ULg; Blaszczyk, Piotr; Ely, Robert et al

in Journal for General Philosophy of Science (2016)

We apply Benacerraf’s distinction between mathematical ontology and mathematical practice (or the structures mathematicians use in practice) to examine contrasting interpretations of infinitesimal ... [more ▼]

We apply Benacerraf’s distinction between mathematical ontology and mathematical practice (or the structures mathematicians use in practice) to examine contrasting interpretations of infinitesimal mathematics of the seventeenth and eighteenth century, in the work of Bos, Ferraro, Laugwitz, and others. We detect Weierstrass’s ghost behind some of the received historiography on Euler’s infinitesimal mathematics, as when Ferraro proposes to understand Euler in terms of a Weierstrassian notion of limit and Fraser declares classical analysis to be a “primary point of reference for understanding the eighteenth-century theories.” Meanwhile, scholars like Bos and Laugwitz seek to explore Eulerian methodology, practice, and procedures in a way more faithful to Euler’s own. Euler’s use of infinite integers and the associated infinite products are analyzed in the context of his infinite product decomposition for the sine function. Euler’s principle of cancellation is compared to the Leibnizian transcendental law of homogeneity. The Leibnizian law of continuity similarly finds echoes in Euler. We argue that Ferraro’s assumption that Euler worked with a classical notion of quantity is symptomatic of a post-Weierstrassian placement of Euler in the Archimedean track for the development of analysis, as well as a blurring of the distinction between the dual tracks noted by Bos. Interpreting Euler in an Archimedean conceptual framework obscures important aspects of Euler’s work. Such a framework is profitably replaced by a syntactically more versatile modern infinitesimal framework that provides better proxies for his inferential moves. [less ▲]

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See detailSur l'emploi de la lettre x en mathématiques
Bair, Jacques ULg

in Losanges (2016), 33

La notation x est souvent perçue comme étant emblématique en mathématiques. Nous montrons dans cet article comment elle est apparue historiquement et recensons des situations d'enseignement au cours ... [more ▼]

La notation x est souvent perçue comme étant emblématique en mathématiques. Nous montrons dans cet article comment elle est apparue historiquement et recensons des situations d'enseignement au cours desquelles un étudiant peut la rencontrer. Ensuite, nous évoquons un travail didactique du réputé mathématicien K. Menger (1902-1985) sur cette question, puis nous donnons en annexe une brève biographie de cet auteur autrichien. [less ▲]

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See detailEn souvenir de la conjecture de la discrépance
Bair, Jacques ULg

in Losanges (2016), 32

La conjecture de la discrépance a été formulée par P. Erdös en 1932. Nous la présentons d'une manière intuitive, mais aussi de façon plus formelle. Nous énonçons également un théorème que T. Tao en a ... [more ▼]

La conjecture de la discrépance a été formulée par P. Erdös en 1932. Nous la présentons d'une manière intuitive, mais aussi de façon plus formelle. Nous énonçons également un théorème que T. Tao en a déduit fin 2015. [less ▲]

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See detailA propos de l'indice de masse corporelle
Bair, Jacques ULg

in Losanges (2015), 31

Selon l'Organisation Mondiale de la Santé, un indicateur de poids "idéal" pour une bonne santé est fourni par l'indice de Quételet, encore appelé indice de masse corporelle. Celui-ci est défini par le ... [more ▼]

Selon l'Organisation Mondiale de la Santé, un indicateur de poids "idéal" pour une bonne santé est fourni par l'indice de Quételet, encore appelé indice de masse corporelle. Celui-ci est défini par le quotient du poids par le carré de la taille. Dans cette note, nous montrons la façon dont le statisticien belge a introduit implicitement cet indice dans un mémoire qu'il a écrit en 1832. Puis, nous rapportons comment ce concept a évolué après Quetelet, en donnant quelques exemples récents de son exploitation en médecine. Enfin, nous concluons par des réflexions de nature pédagogique sur le sujet. [less ▲]

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See detailA propos de la série de Grandi
Bair, Jacques ULg

in Losanges (2015), 31

La série de Grandi, dont les termes sont alternativement égaux à 1 et à -1, est une série divergente emblématique. Nous donnons son histoire qui nous paraît conforme à la dialectique hégélienne. Nous en ... [more ▼]

La série de Grandi, dont les termes sont alternativement égaux à 1 et à -1, est une série divergente emblématique. Nous donnons son histoire qui nous paraît conforme à la dialectique hégélienne. Nous en déduisons quelques constatations générales relatives à l'évolution temporelle de concepts mathématiques, ainsi qu'à la nature surprenante de certains résultats obtenus par des mathématiciens célèbres. [less ▲]

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See detailPourquoi travailler systématiquement avec des exponentielles de base e ?
Bair, Jacques ULg; Henry, Valérie ULg; Justens, Daniel

in Tangente (2015), 166

Le nombre e est omniprésent en mathématiques: on le retrouve en analyse, en trigonométrie, en calcul des probabilités. Il apparaît dans nombre d'applications en finance, en physique, en actuariat. Nous ... [more ▼]

Le nombre e est omniprésent en mathématiques: on le retrouve en analyse, en trigonométrie, en calcul des probabilités. Il apparaît dans nombre d'applications en finance, en physique, en actuariat. Nous montrons dans cet article ce qui fait de ce nombre une base incontournable. [less ▲]

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See detailPreuves pour démontrer l'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique
Bair, Jacques ULg

in Losanges (2015), 29

L'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique pour nombres positifs est importante en mathématiques; elle peut être démontrée de multiples façons. Dans cet article, nous donnons un aperçu de ... [more ▼]

L'inégalité entre moyennes arithmétique et géométrique pour nombres positifs est importante en mathématiques; elle peut être démontrée de multiples façons. Dans cet article, nous donnons un aperçu de quelques preuves qui nous semblent à la fois esthétiques et accessibles pour des étudiants de fin du secondaire ou du début du supérieur. Nous en profitons pour émettre quelques réflexions générales relatives aux démonstrations. [less ▲]

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See detailExtensions du concept de fonction
Bair, Jacques ULg; Henry, Valérie ULg

in Tangente Hors Série (2015), (56), 41

Extensions modernes du concept de fonction Comme la plupart des concepts mathématiques, celui de fonction s’est transformé progressivement pour devenir ce qui nous en est enseigné aujourd’hui. Il évolue ... [more ▼]

Extensions modernes du concept de fonction Comme la plupart des concepts mathématiques, celui de fonction s’est transformé progressivement pour devenir ce qui nous en est enseigné aujourd’hui. Il évolue encore de nos jours : il est toujours plus général, mais également plus abstrait et sophistiqué. Nous donnons ici un petit aperçu intuitif de quelques-unes de ses généralisations modernes. [less ▲]

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See detailPetit voyage à travers les âges: de l'expression à la fonction
Bair, Jacques ULg; Henry, Valérie ULg

in Tangente Hors Série (2015), (56), 12-15

Le concept de fonction est assurément fondamental en mathématiques. Il a été construit lentement, par de multiples améliorations successives. Dans cet article, nous souhaitons évoquer succinctement ... [more ▼]

Le concept de fonction est assurément fondamental en mathématiques. Il a été construit lentement, par de multiples améliorations successives. Dans cet article, nous souhaitons évoquer succinctement quelques étapes marquantes de son élaboration. [less ▲]

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See detailAngles corniculaires et de demi-cercle chez Euclide
Bair, Jacques ULg; Henry, Valérie

in Les angles sous tous les angles (2015)

Dans cet article, on examine comment Euclide présentait, dans ses Eléments, les notions liées au concept d'angle dans le plan. Il considérait des angles mixtilignes, en particulier corniculaires et de ... [more ▼]

Dans cet article, on examine comment Euclide présentait, dans ses Eléments, les notions liées au concept d'angle dans le plan. Il considérait des angles mixtilignes, en particulier corniculaires et de demi-cercle, qui peuvent être de nos jours exploités pour introduire les nombres hyperréels intervenant en analyse non standard. [less ▲]

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See detailUn principe probabiliste de Catalan
Bair, Jacques ULg

in Losanges (2014), 27

Cet article a été rédigé à l'occasion du 200e anniversaire de la naissance d'Eugène Catalan. Nous y évoquons ce que cet auteur appelait "un nouveau principe de probabilités". Nous n'insistons guère sur l ... [more ▼]

Cet article a été rédigé à l'occasion du 200e anniversaire de la naissance d'Eugène Catalan. Nous y évoquons ce que cet auteur appelait "un nouveau principe de probabilités". Nous n'insistons guère sur l'aspect historique de ce résultat sur lequel se sont penchés d'autres auteurs tels Jongmans, Seneta et Breny. Mais nous croyons utile de montrer que ce sujet peut être enseigné à différents niveaux de l'apprentissage des mathématiques et est riche d'un point de vue didactique. [less ▲]

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See detailLes mathématiciens ont-ils un sixième sens ?
Bair, Jacques ULg

in Losanges (2014), 26

Dans cet article, nous nous interrogeons sur le bien-fondé d'une affirmation de C. Darwin, dans son ouvrage "Autobiography", selon laquelle les mathématiciens auraient un sixième sens. Auparavant, nous ... [more ▼]

Dans cet article, nous nous interrogeons sur le bien-fondé d'une affirmation de C. Darwin, dans son ouvrage "Autobiography", selon laquelle les mathématiciens auraient un sixième sens. Auparavant, nous répondons à des questions connexes : les mathématiciens diffèrent-ils des autres humains ? Les mathématiques diffèrent-elles des autres sciences ? Les mathématiciens jouissent-ils de dons spéciaux ? [less ▲]

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See detailEugène Catalan
Bair, Jacques ULg; Haesbroeck, Gentiane ULg

in Tangente (2014), 158

Eugène Catalan est né il y a exactement 200 ans ! Ses travaux mathématiques sont remarquables, tant par leur quantité (on dénombre environ 380 articles et 70 livres ou mémoires) que du point de vue de ... [more ▼]

Eugène Catalan est né il y a exactement 200 ans ! Ses travaux mathématiques sont remarquables, tant par leur quantité (on dénombre environ 380 articles et 70 livres ou mémoires) que du point de vue de leur qualité et de leur variété. En effet, son nom est encore aujourd'hui associé à de nombreux domaines des mathématiques. Citons notamment diverses conjectures fameuses sur les nombres ou équations, l'étude de nombres éponymes en combinatoire, l'introduction des polyèdres semi-réguliers ou des surfaces minimales en géométrie, le calcul d'intégrales multiples ou encore de séries en analyse. A l'occasion de cet anniversaire, nous mettons en évidence quelques éléments de sa biographie. [less ▲]

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See detailAngles corniculaires et de demi-cercle chez Euclide
Bair, Jacques ULg; Henry, Valérie ULg

in Hors Série Tangente (2014), 53

Les angles datent de l’Antiquité : ils sont présents dans le célèbre ouvrage "Les Éléments" d’Euclide. En partant des "Commentaires" de Proclus, nous présentons la façon dont Euclide introduisait le ... [more ▼]

Les angles datent de l’Antiquité : ils sont présents dans le célèbre ouvrage "Les Éléments" d’Euclide. En partant des "Commentaires" de Proclus, nous présentons la façon dont Euclide introduisait le concept d'angle et sa distinction entre les angles rectilignes et mixtilignes. Les cas des angles corniculaires et de demi-cercle sont spécialement traités. [less ▲]

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See detailLe shème de la courbe de niveau tangente
Bair, Jacques ULg

in Losanges (2014), 24

Dans cet article, nous présentons ce que Polya appelle un "schème". Nous introduisons progressivement un cas particulier de ce concept général, à savoir celui de "la courbe de niveau tangente". Nous ... [more ▼]

Dans cet article, nous présentons ce que Polya appelle un "schème". Nous introduisons progressivement un cas particulier de ce concept général, à savoir celui de "la courbe de niveau tangente". Nous montrons au moyen d'exemples variés et simples que ce schème s'avère décisif pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques d'optimisation. [less ▲]

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